南开大学麻小南教授应邀为数学科学学院师生作 “局部指标理论：从指标到解析挠率与 eta 不变量” 学术报告
来源：数学科学学院 作者：何翼宏 摄影：杨春志
2026 年 5 月 28 日下午，数学科学学院邀请南开大学陈省身数学研究所麻小南教授在创新楼 401 教室，为师生们作了题为“局部指标理论：从指标到解析挠率与 eta 不变量”的学术报告。本次报告由刘恒院长主持，数学科学学院刘振海、卢卫君、曾彪等老师和研究生参加此次学术报告活动。
本次报告中，麻小南教授从有限维线性代数的基础概念切入，循序渐进地带领师生走进局部指标理论的核心领域。他首先通过有限维复向量空间之间线性映射的指标定义，直观阐释了指标作为核空间与余核空间维数差的代数本质，随后将这一概念自然推广到紧致流形上的椭圆算子，引出了 1963 年 Atiyah-Singer 指标定理这一 20 世纪数学史上的里程碑成果。麻教授重点讲解了热核算子这一连接局部几何与整体拓扑的关键工具，通过 McKean-Singer 公式与局部指标定理的推导过程，清晰地展现了指标理论从整体不变量到局部密度表示的发展脉络，并介绍了 Bismut、Getzler 等人给出的局部指标定理直接证明及其对现代指标理论的奠基性意义。
随后，麻小南教授系统介绍了两类重要的次级谱不变量——解析挠率与 eta 不变量。在解析挠率部分，他从 Ray-Singer 解析挠率的原始定义讲起，梳理了 Cheeger-Müller 定理证明 Ray-Singer 猜想、Bismut-Zhang 将其推广到一般复表示情形，以及 Lück、Brüning-Ma 等人在带边流形上的拓展工作，并详细阐述了解析挠率在算术几何中的前沿应用，包括 Bergeron 与 Venkatesh（2018 年菲尔兹奖得主）关于局部对称空间上同调挠元素大小的研究成果。在 eta 不变量部分，麻教授讲解了自伴椭圆算子 eta 不变量的定义、等变推广及其作为边界贡献项在 Atiyah-Patodi-Singer 指标定理中的核心作用，并分享了其与 Bo Liu 合作在等变 eta 不变量有理函数性质方面的最新研究进展。
报告全程逻辑严谨、内容详实，麻小南教授将抽象的数学理论与具体的几何实例相结合，深入浅出地展现了局部指标理论的优美结构与跨学科应用价值。他还结合自身多年的研究经历，分享了从事基础数学研究的心得与体会，鼓励在场研究生培养扎实的数学功底与前沿的学术视野。在场师生认真聆听、积极思考，报告结束后，麻教授与师生们就热核渐近展开、解析挠率的算术应用等问题展开了深入的交流与讨论，现场学术氛围浓厚，让在场师生深受启发、受益匪浅。
专家简介：麻小南，现为南开大学讲席教授，陈省身数学研究所所长，国际数学家大会（ICM）报告人。麻小南的主要研究领域为微分几何、复几何以及拓扑，尤其专注于流形上的指标理论以及整体分析的研究。麻小南与张伟平曾运用解析局部化的思想和技巧，解决了法国科学院院士 Vergne 在 2006 年国际数学家大会全会报告中提出的非紧空间上的几何量子化猜想。麻小南曾多次获得国际大奖：2006 年西班牙费兰・苏涅尔・巴拉格尔（Ferran Sunyer i Balaguer）奖、2017 年法国科学院索菲・热尔曼（Sophie Germain）年度大奖、2022 年德国盖・吕萨克 - 洪堡（Gay-Lussac-Humboldt）奖。麻小南也是中科大中法数学班、武汉大学中法数学班的教育委员会秘书长，负责所有法方事务。
